如图，边长为4的正方形，以一个顶点为圆心、4为半径作一个1/4圆的扇形，以一条边为直径作一个半圆，扇形和半圆形交错部分即阴影部分，求阴影部分的面积

有一道题：如图，边长为4的正方形，以一个顶点为圆心、4为半径作一个1/4圆的扇形，以一条边为直径作一个半圆，扇形和半圆形交错部分即阴影部分，求阴影部分的面积。

有意思的是，有人断言该题无初等解法，之后果然有人给出了定积分法。
实际上，本题实实在有一个初等方法，就是人们司空见惯了的割补法。具体算式是：

  ️   (1/2) ×2arctan2×(1/2) ×2arctan(1/2) ×16-8,
  ️ 2π+12arctan(1/2)-8 .
  一般地，设正方形边长为2d，那么
  S阴影＝S1+S2-2S3，
  以下分别计算S1，S2，S3，从而可得
  S阴影=(1/2)(d^2)[π+6arctan(1/2)-4]，
  而π+6arctan(1/2)-4≈1.92347825，
  ∴S阴影=(1/2)(d^2) ×1.92347825，
  这是一个很俏皮的公式！
  当2d=4，即d=2，
  S阴影=2×1.92347825＝3.8469565.

令人扑朔迷离的是，此题总是被称为“小学奥数题”，似乎存在一个小学生能用的无比机智、相当巧妙的方法，可是现实是残酷的，人们连初等方法都难以找到，谈何小学生的方法。于是，奥数神秘，数学神秘的结论不期而至，应运而生。人们甚至期冀神灵给我以智慧，能一举解之。

此题被炒得沸沸扬扬並非今天。据报道，2000年左左，有一叫“哈哈”的网友，自诩数学是强项，高考时差点得满分，他也花了一天一夜才答出这道题。“我发给我许多同窗，他们看了半天，最后动用专业的工程制图软件，千计万算才量出这块面积”。

动用专业工程制图软件在方格纸上准确画图，再数格子的个数，就能数出面积来。这正是小学数学教材里所要求的所谓的“粗估法”。从这个意义讲，把此题归于“小学奥数题”也是勉强可以的。