两个正五边形和五个半圆,求蓝色区域(大正五边形)与橙色区域(小正五边形)面积之比

admin 2022-09-29 PM 2592℃ 62条

如图1,两个正五边形和五个半圆,求蓝色区域(大正五边形)与橙色区域(小正五边形)面积之比.

【大罕解答】

  正五边形ABCDE、MNPQT有共同的中心O,设AB=a,
  作DH⊥AB于H,由对称性可知点Q、O均在DH上,且P、N、H三点共线,PH//BC,如图2,
  在△BHN中,∠BHN=72°,
  ∴BN=asin36°,
  又OB=a/(2sin36°),
  ∴ON/OB=(OB-BN)/OB
  =1-BN/OB=1-2(sin36°)^2=cos72°
  =(√5-1)/4,
  ∴S(ABCDE)/S(MNPQT)=(OB/ON)^2
  =[4/(√5-1)]^2 =(√5+1)^2
  =4φ^2,
 其中(1+√5)/2.

【评论】以正五边形的各边为直径向内作半圆,诸交点得到小的正五边形,这就是“母子正五边形”。这是一个非常优美的图形!
正五边形的角大都涉及到18°系列,36°、54°、72°、108°,这些角往往与“黄金分割”有关。这又是一个迷人的地方。

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标签: 大罕

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