两个正五边形和五个半圆,求蓝色区域(大正五边形)与橙色区域(小正五边形)面积之比

admin 2022-09-29 PM 4441℃ 62条

如图1,两个正五边形和五个半圆,求蓝色区域(大正五边形)与橙色区域(小正五边形)面积之比.

【大罕解答】

  正五边形ABCDE、MNPQT有共同的中心O,设AB=a,
  作DH⊥AB于H,由对称性可知点Q、O均在DH上,且P、N、H三点共线,PH//BC,如图2,
  在△BHN中,∠BHN=72°,
  ∴BN=asin36°,
  又OB=a/(2sin36°),
  ∴ON/OB=(OB-BN)/OB
  =1-BN/OB=1-2(sin36°)^2=cos72°
  =(√5-1)/4,
  ∴S(ABCDE)/S(MNPQT)=(OB/ON)^2
  =[4/(√5-1)]^2 =(√5+1)^2
  =4φ^2,
 其中(1+√5)/2.

【评论】以正五边形的各边为直径向内作半圆,诸交点得到小的正五边形,这就是“母子正五边形”。这是一个非常优美的图形!
正五边形的角大都涉及到18°系列,36°、54°、72°、108°,这些角往往与“黄金分割”有关。这又是一个迷人的地方。

2022-09-29T07:17:51.png

2022-09-29T07:17:58.png

标签: 大罕

非特殊说明,本博所有文章均为博主原创。

评论啦~



已有 62 条评论


  1. 1
    1

    1

    回复 2023-05-19 19:28
    1. 1
      1

      555

      回复 2023-05-19 20:59
      1. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:28
        1. 1
          1

          1

          回复 2023-05-22 13:06
        2. 1
          1

          1

          回复 2023-05-22 13:09
        3. 1
          1

          1

          回复 2023-05-22 13:09
        4. 1
          1

          1

          回复 2023-05-22 13:09
      2. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      3. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      4. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      5. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      6. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      7. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 21:29
      8. 1
        1

        555

        回复 2023-05-22 10:12
      9. 1
        1

        1

        回复 2023-05-22 13:08
    2. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 21:10
    3. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 21:11
    4. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 21:11
    5. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 21:11
    6. 1
      1

      555

      回复 2023-05-19 21:49
      1. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:48
      2. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:48
      3. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:48
      4. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:50
      5. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:50
      6. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:50
      7. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:50
      8. 1
        1

        1

        回复 2023-05-19 23:50
      9. 1
        1

        555

        回复 2023-05-20 00:53
    7. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 09:55
    8. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 13:04
    9. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 13:04
    10. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 13:07
  2. 1
    1

    1

    回复 2023-05-19 20:31
    1. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 21:08
  3. 1
    1

    1

    回复 2023-05-19 20:31
  4. 1
    1

    1

    回复 2023-05-19 20:36
  5. 1
    1

    555

    回复 2023-05-19 20:59
    1. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 23:49
    2. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 23:49
    3. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 23:49
    4. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 23:49
    5. 1
      1

      1

      回复 2023-05-19 23:49
  6. 1
    1

    1

    回复 2023-05-22 09:43
  7. 1
    1

    555

    回复 2023-05-22 10:21
    1. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:26
    2. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:26
    3. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:26
    4. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:30
    5. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:30
    6. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:30
    7. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:30
    8. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:30
    9. 1
      1

      555

      回复 2023-05-22 14:49
  8. 1
    1

    1

    回复 2023-05-22 11:21
  9. 1
    1

    1

    回复 2023-05-22 12:24
  10. 1
    1

    1

    回复 2023-05-22 12:24
    1. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:28
    2. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:28
    3. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:28
    4. 1
      1

      1

      回复 2023-05-22 12:28
    5. 1
      1

      555

      回复 2023-05-22 14:54