若p:x^2+x-6=0是q:ax+1=0的充分不必要条件,则a的值为

admin 2022-10-01 AM 1807℃ 43条

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【提问】若p:x^2+x-6=0是q:ax+1=0的充分不必要条件,则a的值为________.
试问:这个题目a=0可不可以?

【回复】由题意知p推不出q,且q⇒p.

p:x^2+x-6=0,即x=2或x=-3.
q:ax+1=0,当a=0时,方程无解,即x值是不存在的,故使p:x^2+x-6=0不能成立,故a=0舍去.
当a≠0时,x=-1/a.
所以-1/a=2,或-1/a=-3,解得a=-1/2,或a=1/3.
综上可知,a=-1/2,或a=1/3.
所以,a=0是不可以的.

【追问】题目明显理解为“p,q是满足等式的x的值”,用集合来理解是顺顺当当的事,待定系数a应该是包括0.

【再复】

  p*:x^2+x-6=0 ,q*:ax+1=0,
  理解为:p*,q*是分别满足各自等式的x的值”,这是原题。
  p:{x|x^2+x-6=0} ,q:{ax+1=0},
  理解为:p,q是分别满足各自等式的x的值的集合”,这是人为加上去的集合的背景。
  议论:在很多情况下,“方程的解与方程的解集”是通用的,无关紧要。
  但是,在本题情境中,加上了集合的背景,必然默认空集是该集合的子集。这就多了一种情况。而这种情况不是原题所蕴含的,故是不能允许的。 
   举个例子,分式方程转化为整式方程,可能产生增根,因为这个转化不是等效转化。可见,用“转化”一说是需要作一点审视的。
  同理,不引进集合之前,问题讨论得妥妥的,偏要“转化”为集合考虑,引起了有关空集的不必要的麻烦,何苦来哉?
  众所周知,引入新知识的基本前提,是合理解释旧知识,且不会在旧知识领域捣乱,引起节外生枝。
  至于“转化为集合来理解…是常态”,这是不科学的,是一部分的常态。
   需指出,我的上述观点,完全没有“不允许无解”的存在,也不是否认“小充分大必要”的说法。
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